引言：本文翻译自国外博主Bzarg在2015年写的一篇卡尔曼滤波的图解。
背景
卡尔曼滤波（Kalman filter）是一种高效的自回归滤波器，它能在存在诸多不确定性情况的组合信息中估计动态系统的状态，是一种强大的、通用性极强的工具。它的提出者，鲁道夫.E.卡尔曼，在一次访问NASA埃姆斯研究中心时，发现这种方法能帮助解决阿波罗计划的轨道预测问题，后来NASA在阿波罗飞船的导航系统中确实也用到了这个滤波器。最终，飞船正确驶向月球，完成了人类历史上的第一次登月。
什么是卡尔曼滤波
对于这个滤波器，我们几乎可以下这么一个定论：只要是存在不确定信息的动态系统，卡尔曼滤波就可以对系统下一步要做什么做出有根据的推测。即便有噪声信息干扰，卡尔曼滤波通常也能很好的弄清楚究竟发生了什么，找出现象间不易察觉的相关性。
因此卡尔曼滤波非常适合不断变化的系统，它的优点还有内存占用较小（只需保留前一个状态）、速度快，是实时问题和嵌入式系统的理想选择。
如果你曾经Google过卡尔曼滤波的教程（如今有一点点改善），你会发现相关的算法教程非常可怕，而且也没具体说清楚是什么。事实上，卡尔曼滤波很简单，如果我们以正确的方式看它，理解是很水到渠成的事。
本文会用大量清晰、美观的图片和颜色来解释这个概念，读者只需具备概率论和矩阵的一般基础知识。
我们能用卡尔曼滤波做什么
让我们举个例子：你造了一个可以在树林里四处溜达的小机器人，为了让它实现导航，机器人需要知道自己所处的位置。
也就是说，机器人有一个包含位置信息和速度信息的状态$\vec{x}_k$：
注意，在这个例子中，状态是位置和速度，放进其他问题里，它也可以是水箱里的液体体积、汽车引擎温度、触摸板上指尖的位置，或者其他任何数据。
我们的小机器人装有GPS传感器，定位精度10米。虽然一般来说这点精度够用了，但我们希望它的定位误差能再小点，毕竟树林里到处都是土坑和陡坡，如果机器人稍稍偏了那么几米，它就有可能滚落山坡。所以GPS提供的信息还不够充分。
我们也可以预测机器人是怎么移动的：它会把指令发送给控制轮子的马达，如果这一刻它始终朝一个方向前进，没有遇到任何障碍物，那么下一刻它可能会继续坚持这个路线。但是机器人对自己的状态不是全知的：它可能会逆风行驶，轮子打滑，滚落颠簸地形……所以车轮转动次数并不能完全代表实际行驶距离，基于这个距离的预测也不完美。
这个问题下，GPS为我们提供了一些关于状态的信息，但那是间接的、不准确的；我们的预测提供了关于机器人轨迹的信息，但那也是间接的、不准确的。
但以上就是我们能够获得的全部信息，在它们的基础上，我们是否能给出一个完整预测，让它的准确度比机器人搜集的单次预测汇总更高？用了卡尔曼滤波，这个问题可以迎刃而解。
卡尔曼滤波眼里的机器人问题
还是上面这个问题，我们有一个状态，它和速度、位置有关：
我们不知道它们的实际值是多少，但掌握着一些速度和位置的可能组合，其中某些组合的可能性更高：
卡尔曼滤波假设两个变量（在我们的例子里是位置和速度）都应该是随机的，而且符合高斯分布。每个变量都有一个均值 $\mu$，它是随机分布的中心；有一个方差$\sigma^2$ ，它衡量组合的不确定性。
在上图中，位置和速度是不相关的，这意味着我们不能从一个变量推测另一个变量。
那么如果位置和速度相关呢？如下图所示，机器人前往特定位置的可能性取决于它拥有的速度。
这不难理解，如果基于旧位置估计新位置，我们会产生这两个结论：如果速度很快，机器人可能移动得更远，所以得到的位置会更远；如果速度很慢，机器人就走不了那么远。
这种关系对目标跟踪来说非常重要，因为它提供了更多信息：一个可以衡量可能性的标准。这就是卡尔曼滤波的目标：从不确定信息中挤出尽可能多的信息！
为了捕获这种相关性，我们用的是协方差矩阵。简而言之，矩阵的每个值是第 $i$ 个变量和第 $j$个变量之间的相关程度（由于矩阵是对称的，$i$ 和$j$的位置可以随便交换）。我们用$\varSigma$表示协方差矩阵，在这个例子中，就是$\varSigma_{ij}$。
用矩阵描述问题
为了把以上关于状态的信息建模为高斯分布（图中色块），我们还需要$k$时的两个信息：最佳估计$\mathbf{\hat{x}_k}$ （均值，也就是$\mu$)，协方差矩阵$\mathbf{P_k}$ 。（虽然还是用了位置和速度两个变量，但只要和问题相关，卡尔曼滤波可以包含任意数量的变量）
接下来，我们要通过查看当前状态（k-1时）来预测下一个状态（k时）。这里我们查看的状态不是真值，但预测函数无视真假，可以给出新分布：
我们可以用矩阵$\mathbf{F_k}$表示这个预测步骤：
它从原始预测中取每一点，并将其移动到新的预测位置。如果原始预测是正确的，系统就会移动到新位置。
这是怎么做到的？为什么我们可以用矩阵来预测机器人下一刻的位置和速度？下面是个简单公式：
换成矩阵形式：
这是一个预测矩阵，它能给出机器人的下一个状态，但目前我们还不知道协方差矩阵的更新方法。这也是我们要引出下面这个等式的原因：如果我们将分布中的每个点乘以矩阵$\color{firebrick}{\mathbf{A}}$，那么它的协方差矩阵会发生什么变化
把这个式子和上面的最佳估计$\mathbf{\hat{x}_k}$结合，可得：
外部影响
但是，除了速度和位置，外因也会对系统造成影响。比如模拟火车运动，除了列车自驾系统，列车操作员可能会手动调速。在我们的机器人示例中，导航软件也可以发出停止指令。对于这些信息，我们把它作为一个向量$\color{darkorange}{\vec{\mathbf{u}_k}}$，纳入预测系统作为修正。
假设油门设置和控制命令是已知的，我们知道火车的预期加速度$\color{darkorange}{a}$。根据运动学基本定理，我们可得：
把它转成矩阵形式：
$\mathbf{B}_k$是控制矩阵，$\color{darkorange}{\vec{\mathbf{u}_k}}$是控制向量。如果外部环境异常简单，我们可以忽略这部分内容，但是如果添加了外部影响后，模型的准确率还是上不去，这又是为什么呢？
外部不确定性
当一个国家只按照自己的步子发展时，它会自生自灭。当一个国家开始依赖外部力量发展时，只要这些外部力量是已知的，我们也能预测它的存亡。
但是，如果存在我们不知道的力量呢？当我们监控无人机时，它可能会受到风的影响；当我们跟踪轮式机器人时，它的轮胎可能会打滑，或者粗糙地面会降低它的移速。这些因素是难以掌握的，如果出现其中的任意一种情况，预测结果就难以保障。
这要求我们在每个预测步骤后再加上一些新的不确定性，来模拟和“世界”相关的所有不确定性：
如上图所示，加上外部不确定性后，$\color{royalblue}{\mathbf{\hat{x}}_{k-1}}$的每个预测状态都可能会移动到另一点，也就是蓝色的高斯分布会移动到紫色高斯分布的位置，并且具有协方差$\color{mediumaquamarine}{\mathbf{Q}_k}$。换句话说，我们把这些不确定影响视为协方差$\color{mediumaquamarine}{\mathbf{Q}_k}$ 的噪声。
这个紫色的高斯分布拥有和原分布相同的均值，但协方差不同。
我们在原式上加入${\color{mediumaquamarine}{\mathbf{Q}_k}}$，得到预测步骤的完整表达式：
简而言之，这里：
新的最佳估计是基于原最佳估计和已知外部影响校正后得到的预测。
新的不确定性是基于原不确定性和外部环境的不确定性得到的预测。
现在，得到最终的预测结果，我们把传感器数据加入其中，会发生什么呢？
通过测量值来修正估计值
我们可能有好几个传感器，它们一起提供有关系统状态的信息。传感器的作用不是我们关心的重点，它可以读取位置，可以读取速度，重点是，它能告诉我们关于状态的间接信息——它是状态下产生的一组读数。
请注意，读数的规模和状态的规模不一定相同，所以我们把传感器读数转换矩阵设为$\mathbf{H}_k$。
把这些分布转换为一般形式：
卡尔曼滤波的一大优点是擅长处理传感器噪声。换句话说，由于种种因素，传感器记录的信息其实是不准的，一个状态事实上可以产生多种读数。
我们将这种不确定性（即传感器噪声）的协方差设为$\color{mediumaquamarine}{\mathbf{R}_k}$，读数的分布均值设为$\color{yellowgreen}{\vec{\mathbf{z}_k}}$。
现在我们得到了两块高斯分布，一块围绕预测的均值，另一块围绕传感器读数。
如果要生成靠谱预测，模型必须调和这两个信息。也就是说，对于任何可能的读数$(z_1,z_2)$，这两种方法预测的状态都有可能是准的，也都有可能是不准的。重点是我们怎么找到这两个准确率。
最简单的方法是两者相乘：
两块高斯分布相乘后，我们可以得到它们的重叠部分，这也是会出现最佳估计的区域。换个角度看，它看起来也符合高斯分布：
事实证明，当你把两个高斯分布和它们各自的均值和协方差矩阵相乘时，你会得到一个拥有独立均值和协方差矩阵的新高斯分布。最后剩下的问题就不难解决了：我们必须有一个公式来从旧的参数中获取这些新参数！
结合高斯
关于两个高斯分布的乘积仍为高斯分布的证明见：
让我们从一维看起，设方差为$\sigma^2$，均值为$\mu$，一个标准一维高斯钟形曲线方程如下所示：
那么两条高斯曲线相乘呢，下面的蓝色曲线代表两个高斯分布的（未归一化）交集：
把这个式子按照一维方程进行扩展，并进行归一化使其概率和为1，可得：
如果有些太复杂，我们用k简化一下：
以上是一维的内容，如果是多维空间，把这个式子转成矩阵格式：
这个矩阵 就是我们说的卡尔曼增益，easy！
把他们结合在一起
截至目前，我们有用矩阵$(\color{fuchsia}{\mu_0}, \color{deeppink}{\Sigma_0}) = (\color{fuchsia}{\mathbf{H}_k \mathbf{\hat{x}}_k}, \color{deeppink}{\mathbf{H}_k \mathbf{P}_k \mathbf{H}_k^T})$预测的分布，有用传感器读数$(\color{yellowgreen}{\mu_1}, \color{mediumaquamarine}{\Sigma_1}) = (\color{yellowgreen}{\vec{\mathbf{z}_k}}, \color{mediumaquamarine}{\mathbf{R}_k})$预测的分布。把它们代入上节的矩阵等式中：
相应的，卡尔曼增益就是：
考虑到$\color{purple}{\mathbf{K}}$里还包含着一个$\mathbf{H}_k$，我们再精简一下上式：
最后，$\color{royalblue}{\mathbf{\hat{x}}_k’}$是我们最终的最佳估计值，我们可以把它和$\color{royalblue}{\mathbf{P}_k’}$继续放进去做另一轮预测：
参考：http://www.bzarg.com/p/how-a-kalman-filter-works-in-pictures/#mathybits